はじめに

投資における最適ポートフォリオ選択手法であるブラック・リッターマンモデル(Black-Litterman Model)。伝統的な平均分散アプローチによる最適化と比べ直感的に理解しやすい結果が得られるため、その使い勝手の良さから金融実務でも広く用いられています。
本記事ではブラック・リッターマンモデルは何をしているのかについて、図も用いてざっくりと解説したいと思います。数式の導出など細かい部分については参考文献を確認ください。

ブラック・リッターマンモデル概観～伝統的な最適化手法との比較

伝統的な最適化手法とその問題点

マーコヴィッツによる平均分散アプローチでは、各アセットの期待リターンとリスク（共分散行列）を推定し、リターンを最大化しつつリスクを最小化するというトレードオフを最適化計算によって解くことにより、最適ポートフォリオを計算します。

このアプローチは理解しやすいものですが、実務で利用するためには次のような問題点があります。
– リスクは比較的安定しており推定しやすい一方で、リターンの予測は難しい
– にもかかわらず、平均分散アプローチによる最適化では全てのアセットに対する期待リターンを指定しなければならない
– そのうえ、期待リターンのわずかな変化で、結果として得られるポートフォリオが大きく変わってしまう

このため実務上は、最適化計算においてさまざまな制約条件（ポジションサイズ、売買回転率など）を課すことによって対応しています。
この問題点を回避するために、ブラック・リッターマンモデルが考案され、広く用いられています。

ブラック・リッターマン最適化の流れ

ブラック・リッターマンモデルは、以下3ステップに分けて考えると理解しやすいです。

1. Reverse Optimizationにより均衡期待リターンを求める

ブラック・リッターマン最適化では、推定するのが困難な期待リターンを直接推定しません。その代わり、マーケット全体が最適化によってポートフォリオを選択している、すなわち現在の市場における時価総額ウェイト（＝マーケット・ポートフォリオ）は、マーケットが想定している推定リターンとリスクを入力とする最適化の結果得られたものと仮定します。この考えに基づいて、時価総額ウェイト（マーケット・ポートフォリオ）と推定リスクから、市場が想定している期待リターン（均衡リターン、あるいはインプライドリターンと呼びます）を逆算することができます。この手法は平均分散アプローチでの最適化計算を逆に行う形になるため、Reverse Optimizationと呼ばれています。

2. ベイズ更新により投資家のビューを均衡期待リターンにブレンドする

1のReverse Optimizationで求めた均衡期待リターンに、ベイズ統計を用いて投資家のビュー（見通し）をブレンドし、期待リターンの値を調整します。投資家のビューは、例えば「A資産がB資産を3%アウトパフォームする」「C資産のリターンは5%となる」などの予測の形でモデルに入力します。予測は任意の数を入力でき、各予測についての投資家の自信度もパラメータとして入力できます。自信度が高い予測はリターンに対する影響度が大きくなり、自信度が低い予測はリターンにあまり影響しないことになります。

3. 最適化計算によりポートフォリオを計算

最後に、更新された期待リターンとリスクをもとに、最適化プロセスによって新ポートフォリオを計算します。

 

（出典：ブラック・リッターマンモデルによる資産配分を解説してみる（Pythonによる実行例つき）